Aanpak

Leerlingen hebben een behoorlijk vaste kijk op wiskunde. Deze visie gaat vaak over een wiskunde met één goed antwoord en het herinneren van formules en procedures. Wanneer mensen een wiskundige situatie tegenkomen, hebben ze de neiging om te reageren met hun gebruikelijke patronen. Ze zoeken het goede antwoord met behulp van de geschikte formule en procedure.

Volgens onze ervaring met dit project kan een verrassende, nieuwe manier van benaderen van wiskunde een diepgaand effect hebben. Mensen stellen zich open door twee ideeën te ervaren die ze eerder niet associeerden met wiskunde. Enerzijds beginnen ze bereid te zijn wiskunde als visueel en creatief te zien waarin meerdere goede antwoorden mogelijk zijn. En aan de andere kant komen ze wiskunde tegen als een vak waarin ze hun eigen ideeën kunnen hebben. (Later kunnen ze zelfs ontdekken dat ze in staat zijn om hun eigen concepten, formules en procedures te creëren.)

De openheid voor zowel wiskunde als hun eigen capaciteiten stelt leerlingen in staat op nieuwe manieren nieuwsgierig te zijn. In plaats van alleen nieuwsgierig te zijn naar toepassingen en oplossingen, beginnen ze zich af te vragen hoe ze op verschillende manieren naar problemen kunnen kijken, en krijgen ze een glimp van wiskundige schoonheid.

Leren heeft drie pijlers: motivatie, verbinding en slim oefenen. Opdrachten die tijdens de lessen en als huiswerk worden gegeven, moeten deze pijlers ondersteunen. Een opdracht moet nieuwsgierigheid wekken, resulterend in intrinsieke motivatie. Het moet ook aansluiten op bestaande kennis, waardoor de leerling ideeën kan verbinden. Ten slotte moeten opdrachten ook de mogelijkheid bieden om te oefenen. Maar in plaats van mechanisch oefenen, moeten studenten kunnen verkennen op een manier die slim oefenen mogelijk maakt.

Laagdrempelige opdrachten met hoge plafonds (low-threshold high-ceiling problems) zijn gemakkelijk om mee te beginnen en laten steeds meer (kleine) ontdekkingen toe. Ook is het vaak zo dat deze opdrachten op verschillende manieren kunnen worden aangepakt. Een visuele benadering, een systematische computationele aanpak of een nieuwe representatie kunnen allemaal helpen bij het verkrijgen van nieuwe inzichten met betrekking tot de oplossing.

Er zijn steeds meer middelen beschikbaar voor laagdrempelige opdrachten met hoge plafonds. Toch zijn er manieren om van traditionele opdrachten dergelijke problemen te vertalen. Een praktisch idee om dit te doen, is een gesloten vraag omdraaien. Bijvoorbeeld, in plaats van te vragen wat de oppervlakte van een rechthoek is als de zijden 3 en 4 zijn, kan men de leerling vragen om zoveel mogelijk rechthoeken te vinden met een oppervlakte van 12. Dit maakt verkenning mogelijk (eerste zeer eenvoudige rechthoeken en dan geleidelijk aan steeds interessantere gevallen), verbindingen (relatie tussen verschillende rechthoeken, en zelfs tussen deze familie van rechthoeken en een hyperbool), en slimme oefening (in dit geval de formule van de oppervlakte van de rechthoek en vermenigvuldiging van steeds ingewikkelder getallen; gehele getallen, breuken, irrationele getallen of zelfs complexe getallen).

Zie meer ideeën in de Opdrachtenbank.

Bij wiskunde bevat veel individueel werk. Je moet dingen zelf begrijpen, en je moet zelf nieuwe kennis in je brein consolideren. Wiskunde is echter ook een gezamenlijke activiteit. Bijna alles is op verschillende manieren te zien en te interpreteren. Interessant is dat mensen dingen automatisch anders zien. Dit kan bijvoorbeeld worden aangetoond door een getalgesprek (number talk) of een puntenverzameling getalgesprek (dot-card number talk).

Deze diversiteit van uiteenlopende kijk is interessant om te ervaren en is waardevol tijdens wiskundige activiteiten. Door manieren te delen hoe ze een probleemsituatie zien, kunnen studenten samen oplossingen vinden. Daarnaast hebben ze ook verschillende kennis, verschillende ervaringen en verschillende manieren om dingen te benaderen. De ene student wil zijn gedachten bijvoorbeeld graag in plaatjes uitdrukken, de ander houdt ervan om te systematiseren wat hij al weet, en de derde gebruikt graag de computer om experimenten uit te voeren of grafieken te tekenen. Al deze activiteiten zijn zeer wiskundig, en samen worden ze nog krachtiger. Studenten versterken elkaar.

Buiten school hebben we de neiging het als normaal te beschouwen om door het worstelen en het fouten maken te leren. Het kost bijvoorbeeld veel tijd voordat iemand leert fietsen. Tijdens het leren valt men of maakt andere fouten. We denken nooit dat die persoon niet leert of dat hij geen talent heeft voor fietsen.

Interessant is dat leren op school is zich ontwikkeld tot iets heel anders. Leerlingen moeten bepaalde informatie en procedures uit het hoofd leren en ze moeten de kennis voor tests uitspugen. Dit is niet leuk, niet efficiënt, en de kennis is niet overdraagbaar (dat wil zeggen, de leerling zal zich niet kunnen aanpassen en later niet kunnen toepassen).

Net als bij het leren fietsen, moeten we accepteren dat leren tijd en moeite kost en veel fouten bevat.

De mogelijkheid om ons over grenzen heen te ontwikkelen geeft studenten vertrouwen. Neurowetenschappen en psychologie leveren steeds meer bewijs dat we onze hersenen zelfs als volwassenen kunnen ontwikkelen. Neuroplasticiteit houdt in dat hersencellen en neurale verbindingen tussen deze cellen gedurende ons hele leven kunnen groeien, niet alleen tot een bepaalde (jonge) leeftijd. Door te focussen op het ontwikkelproces in plaats van op onze bestaande talenten, kunnen we veel sneller groeien. Dit is de theorie van een growth-mindset, bewezen door veel psychologische onderzoeken.

Het delen van deze wetenschappelijke resultaten kan een goede basis zijn voor het lesgeven in wiskunde. Leerlingen leren graag over hun brein. Toch is het niet voldoende om simpelweg over deze resultaten te vertellen. Tijdens het lesgeven moeten de studenten er keer op keer aan worden herinnerd dat hun hersenen zich ontwikkelen als ze fouten maken of iets moeilijk begrijpen. Dit zijn de feitelijke leermomenten. Denk aan het volgende: als je iets direct en gemakkelijk kunt beantwoorden, wist je het antwoord al – of in ieder geval bijna. Echt leren gebeurt wanneer de gedachte echt nieuw voor je is. Bovendien moet de docent dit proces niet aandringen. Nieuwe neurale verbindingen maken en verstevigen kost veel tijd en moeite.

De Open Maths-aanpak kan alleen werken in een veilige leeromgeving. Druk en concurrentie kunnen alle andere pijlers ruïneren. Als studenten het gevoel hebben dat ze snel moeten werken om de eerste te zijn om de leraar gelukkig te maken, zullen ze niet onderzoeken of samenwerken, maar zich concentreren op het snel vinden van een oplossing.

Studenten moeten zich niet slecht voelen als ze iets nog niet begrijpen of als ze fouten maken. Als de docent nieuwsgierig en geïnteresseerd blijft naar wat en hoe studenten denken en hoe ze leren, wennen studenten daaraan. Verder en gaan ze zich concentreren op wiskunde. Hierdoor zullen de studenten ook geïnteresseerd zijn in hun eigen denk- en leerproces. Daarom is de houding van de docent van cruciaal belang.

Het leermateriaal moet op zo’n manier worden opgebouwd dat de leerling dat kan verkennen en ontdekken. Wiskunde is daar gelukkig geschikt voor omdat er maar heel weinig regels zijn waar je je aan moet houden. Dit zijn typisch de logische regels die we algemeen aanvaarden als plausibele, fundamentele stappen in het denken. Over de vrije verkenning en ontdekking in de wiskunde, schrijft Lockhart prachtig.

Het groeiende aantal hoogwaardige middelen kan (en zou moeten) worden ingebed in het onderwijs. Het doel is meestal om de kennis van studenten te verdiepen of te verbreden. De bron moet, bijvoorbeeld als huiswerk, grondig worden bestudeerd (een video kan bijvoorbeeld twee keer worden bekeken en sommige delen zelfs vaker of met een lagere afspeelsnelheid). Het wordt aanbevolen om verschillende vragen te stellen. Deze omvatten subjectieve vragen waar studenten hun eigen mening kunnen bespreken en expliciete vragen om een resultaat, strategie of redenering te vinden. Studenten kunnen ook hun eigen beschrijving, structuur, overzicht en hoogtepunten over de bron maken. Ten slotte blijkt een zeer krachtige techniek te zijn om verbanden te leggen tussen dingen. Een mogelijke vraag kan bijvoorbeeld zijn hoe twee gegeven bronnen vanuit een bepaald aspect met elkaar verband houden. (Bv., “Kun je tussen de twee visualisaties verschillen en overeenkomsten vinden?”)

Wiskunde gaat over verschillende abstracties van de wereld om ons heen. Hierdoor kan bijna alles in de wiskunde worden gevisualiseerd. Een probleemsituatie in tekst is één voorstelling. Het kan ook worden weergegeven door afbeeldingen. Belangrijk is dat deze afbeeldingen niet aan de leerlingen hoeven te worden gegeven. Ze kunnen hun eigen visuals bedenken. Als de docent regelmatig vraagt: “Hoe zie je dit?”, zullen de leerlingen eraan wennen om afbeeldingen te gebruiken als onderdeel van hun communicatie. Dit helpt op zijn beurt vaak om nieuwe concepten te begrijpen of om dichter bij de oplossing van een probleem te komen.